Média Harmônica
A média harmônica de n números reais positivos x1, x2,... , xn é o número real positivo Mh, definido por:
Em outras palavras: A Média
Harmônica Mh é o inverso da média
aritmética dos inversos dos n números x1, x2,
...,xn.
Podemos interpretar o valor
numérico da Média Harmônica Mh como
o valor que representa a capacidade média individual da ação de n agentes
(indíviduos ou entes) que estão agindo harmonicamente, ou seja, Mh representa a capacidade de um agente
que é capaz de substituir cada um dos n agentes quando atuando em conjunto.
Média Harmônico Global
O Harmônico Global dos números reais positivos x1, x2, ..., xn é o número real positivo h, definido por:
Isto é, a Média Harmônico Global Mg
é um número que representa o inverso da soma dos inversos dos n números x1,
x2, ...,xn.
Na prática, este número Mg representa a capacidade média global
da ação dos n agentes (entes ou indíviduos) agindo em conjunto de uma forma
harmônica, isto é, Mg representa a
capacidade de um único agente substituir todos os agentes ao mesmo tempo.
Média Harmônico Global - Algumas aplicações práticas
Exemplos práticos que utilizam o conceito de
Harmônico global, assim como as fórmulas que devem ser usadas para obter as soluções,
além das soluções.
A)
Torneiras amigas:
Uma torneira enche uma caixa
d'água em 4 horas e outra torneira enche a mesma caixa em 6 horas. Abrindo-se
as duas torneiras ao mesmo tempo, qual será o tempo t necessário para encher a
caixa?
N
= 2
Solução:
X1 = 4h
X2 = 6h
MG = (4.6)/(4+6) = 2,4h = 2h
24min
A)
Torneiras inimigas:
Uma torneira enche uma caixa
d'água em 4 horas e outra torneira a esvazia em 6 horas. Abrindo-se as duas
torneiras simultaneamente, qual será o tempo t necessário para encher a caixa
d'água?
N = 2
Solução:
X1 = 4h
X2 = −6h
MG = (4.(−6))/(4+(−6)) = − 24/−2 = 12h
A)
Capacidade pessoal:
Uma pessoa é capaz de construir
um muro em 6 horas e outra pessoa tem a capacidade de trabalho para construir
este mesmo muro em 9 horas. Pondo-se as duas pessoas trabalhando em conjunto,
em quanto tempo t, o muro estará pronto?
N
= 2
Solução:
X1 = 6h
X2 = 9h
MG = (6*9)/(6+9) = 3,6h = 3h
36min
Média Harmônica - Aplicação prática
Velocidade média:
Um veículo realizou o trajeto de ida e volta entre as
cidades A e B. Na ida ele desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h , na volta a velocidade
média desenvolvida foi de 120 km/h .
Qual a velocidade média para realizar todo o percurso de ida e volta?
Considerando que a distância percorrida na ida e volta sejam
iguais.
É fácil calcular a média
das velocidades (médias) de ida e volta que seria de 100 Km/h .
Mas, o que se pede no problema é a velocidade média para
todo o percurso (ida + volta) e não a média
das velocidades.
A velocidade média é
a média harmônica entre as duas velocidades médias (ida=80 Km/h e volta=120
Km/h).
N=2
X1 = V1 = 80 Km/h
X2 = V2 = 120 Km/h
Velocidade média = Mh
= (2*80*120)/(80+120) = 96 Km/h
Portanto, a resposta
do problema é a média harmônica de 96 km/h
Alguém pode perguntar:
Mas
por que 96 km/h? Em que se baseia este resultado?
Vamos
fazer o seguinte, já que independentemente da distância entre as cidades as
velocidades médias foram de 80 km/h na ida e de 120 km/h na
volta, para facilitar a explicação vamos adotar que a distância entre as cidades A e B seja
de 120 km.
Baseado
nestas informações; podemos concluir que o tempo gasto na ida seria de uma
hora e meia, que é a distância entre as cidades dividida pela velocidade
média da ida: (120 Km/80 Km/h = 1,5 h)
Analogamente,
na volta o tempo gasto seria de uma hora:
(120
Km/120 Km/h = 1 h)
Então
para realizar o percurso total de 240 km/h se
gastaria 2,5 h, donde concluímos que a velocidade média foi
de 96 km/h:
(240
Km/2,5 = 96 Km/h )
Assim fica demonstrado que a média harmônica
de 96 Km/h
é a resposta do problema.
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