Relembrando

Uma questão que abrange os assuntos Semelhança de Triângulos e Teorema de Pitágoras. Também, foi comentado sobre Trigonometria, mas este assunto ficará para depois.


Na figura abaixo tem-se um triângulo equilátero ABC e um quadrado DEBF, ambos de lado 1 cm.  Sabendo-se que os pontos F, G e A estão alinhados e os pontos F, B e C, também, estão alinhados.
Calcular a área do triângulo ABG (hachurado).

SOLUÇÃO: (aplicando semelhança de triângulos e teorema de pitágoras).

Vamos relembrar que:

1) Dois triângulos serão semelhantes se satisfizerem duas condições

    simultaneamente: se seus lados correspondentes possuírem medidas

    proporcionais e se os ângulos correspondentes forem iguais (congruentes).

2) Teorema de Pitágoras: A soma dos quadrados de catetos é igual ao

    quadrado da hipotenusa.



a² + b² = c²

Resolvendo:

a) Traçar a perpendicular do vértice A em relação à base BC. 

Temos então que: os triângulos FGB e FAP₁ são semelhantes, logo, é verdade afirmar que:

GB/FB = AP₁ /FP₁

Vamos determinar o tamanho do segmento AP₁  (= altura do triângulo isósceles ABC). O triângulo ABP₁  é quadrado, portanto podemos aplicar o teorema de Pitágoras.

AB²  = AP₁²  + B P₁²    →   1²  = AP₁²   + (1/2)²   →   AP₁²  = 1 – ¼ = 3/4  → 

AP₁  = √ 3/4  →  AP₁  = √3/2

b) Agora vamos calcular a medida do seguimento GB (lado do triângulo ABG):

GB = (AP₁ /FP₁ ) / FB  →   GB = [√3/2 / (1+1/2)] / 1 = [√3/2 / (3/2)] =  

= [√3/2 * 2/3] = √3/3  → GB = √3/3



Pronto!  Agora conhecemos a base e o lado do triângulo ABG.

c) Então vamos calcular a altura GP₂  do triângulo ABG, aplicando, novamente,

    o Teorema de Pitágoras:

O segmento GP₂ é mediana, também, bissetriz do ângulo BGA, então temos:

GB² = GP₂ ²  + BP₂²   →   GP₂  = √(GB² -  BP₂²)  = √(√3/3)² - (1/2)²  =

= √(3/9 - 1/4) = √(12-9)/36  = √3/6  →   GP₂  =  √3/6

Agora temos todas as informações para calcular a área do triângulo ABG.

d) Calculando a área do triângulo ABG:

A área de um triângulo é:  A = 1/2*base*altura → 1/2 * 1* √3/6 = √3/12

A =  √3/12 

Resp.:   A área do triângulo ABG é √3/12 




DOIS PROBLEMAS - DESAFIO

 

1) Dois nadadores, posicionados em lados opostos de uma piscina retangular e em raias adjacentes, começam a nadar em um mesmo instante, com velocidades constantes.
Sabe-se que, nas duas primeiras vezes em que ambos estiveram lado a lado, eles nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a 15 m de uma borda e, na segunda vez, a 12 m da outra borda.
Considerando-se essas informações, qual é o comprimento dessa piscina?

Resp:  33 m   (Veja solução no Exercícios Resolvidos - Ex-11)

2) O contorno da figura abaixo é formado por quatro quadrantes de uma circunferência de raio 1. Quanto vale a área interna à figura? 

Resp: 2