Matemática8-ThiagoKYamamoto: Média harmônica e global

1) EX-01 (CGU 2002 – ESAF) – Média Harmônica

Em um passeio de moto, um dos participantes vai de Curitiba a São Paulo a uma velocidade média de 50 Km por hora; após, retorna de São Paulo para Curitiba a uma velocidade média de 75 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi de:

a) 60

b) 62,5

c) 65

d) 70

e) 72,5

Solução:

(Resolvendo sem usar o conceito de média harmônica)

Dados do problema (velocidade média):

Curitiba – São Paulo = 50 Km/h

São Paulo – Curitiba = 75 Km/h

Como a distância (entre as duas cidades) não foi dada, podemos adotar que seja 450 Km, pois este valor é múltiplo de 50 e 75, que facilitará os cálculos.

E vamos supor que as distâncias (de ida e volta) percorridas são iguais.

Calculando o tempo gasto em cada trecho:

Curitiba – São Paulo: 450/50 = 9 h

São Paulo – Curitiba: 450/75 = 6 h

Portanto, gastou-se 9 + 6 = 15 h no percurso total.

E a distância total = 450 + 450 = 900 Km

Logo, a velocidade média para todo o percurso = 900/15 = 60 Km/h

Então, a alternativa correta (=resposta) é “a”.

Vamos aplicar o conceito de média harmônica para este problema:

Sabemos que a média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos.

Dados do problema (velocidade média):

Curitiba – São Paulo = 50 Km/h

São Paulo – Curitiba = 75 Km/h

X1 = V1 = 50 Km/h

X2 = V2 = 75 Km/h

mH = Vmh = 2*50*75/(50+75) = 60 Km/h

Logo, a velocidade média em todo o percurso foi de 60 Km/h.

Como saber que é para aplicar a média harmônica? É a partir do texto do problema proposto?:

A resposta para estas perguntas: “decorado”, “gravado”, experiência e conhecimento prévio.

2) EX-02

Uma torneira enche um tanque em 12 horas; outra torneira enche-o em 15 horas. Estando o tanque vazio e abrindo-se as duas torneiras no mesmo instante, em quanto tempo ficará cheio?

Solução:

Volume do tanque = v

Em 1h, a 1ª torneira despeja v/12 da capacidade do tanque.

Em 1h, a 2ª torneira despeja v/15 da capacidade do tanque.

Em 1h, as duas torneiras abertas no mesmo instante, despejarão:

v/12 + v/15 = (5 + 4)/60 = 3/20 v/h

Para despejarem água até encher o tanque, isto é, para despejarem os (20/20)v será necessário que fiquem abertas durante:

(20/20)v : 3/20 v/h = (20/20)v * 20/3 h/v = 6h 40 min

Resposta: 6h 40min.

Observação: Para o caso de duas torneiras há um método "torneiras amigas" de resolver. Basta dividir o produto pela soma dos tempos que as duas torneiras isoladamente gastam para encher o tanque.

X1 = 12 h

X2 = 15 h

Tempo = 12*15/(12+15) = 12*15/27 = 9*20/9*3 = 20/3 = 6h 40min

3) EX-03 – Média Harmônico Global

Uma torneira enche um tanque em 12 horas; uma outra torneira enche-o em 15 horas. Estando o tanque vazio e abrindo-se as duas torneiras no mesmo instante, em quanto tempo ficará cheio?

Resposta: 6h 40min.

Observação: Para o caso de duas torneiras há um método "formula legal" de resolver. Basta dividir o produto pela soma dos tempos que as duas torneiras isoladamente gastam para encher o tanque.

4) EX-04 – Média Harmônico Global

Um reservatório é alimentado por duas torneiras que enchem em 6 horas. Se a primeira, sozinha, enche-o em 10 horas, em quanto tempo a segunda, funcionando só, deixará o reservatório cheio?

Observação: Aplicando o método "fórmula legal" a solução, no caso, seria:

5) EX-05

Quatro torneiras foram instaladas para encher um tanque. A primeira demoraria 15 horas para encher sozinha; a segunda, 20; a terceira, 30; e a quarta, 60 horas. Depois de abrir, simultaneamente, as quatro torneiras e elas ficarem funcionando em conjunto durante 5 horas, fecharam-se as duas primeiras. Quanto tempo demorarão as outras duas para terminar de encher o tanque?

Solução:

Em 1h, a 1ª torneira encherá 1/15 da capacidade do tanque.

Em 1h, a 2ª torneira encherá 1/20 da capacidade do tanque.

Em 1h, a 3ª torneira encherá 1/30 da capacidade do tanque.

Em 1h, a 4ª torneira encherá 1/60 da capacidade do tanque.

Em 1h, as quatro torneiras, juntas encherão:

Em 5 horas, encherão 5*1/6 = 5/6 do tanque. Ficando 1/6 do tanque para ser enchido.

Em 1h as duas torneiras que não foram fechadas, juntas, isto é, a 3ª e a 4ª, despejarão:

Assim, o tempo necessário para que eles acabem de encher o tanque é:

1/6 : 1/20 = 1/6 * 20/1 = 20/6 = 10/3 = 3h20min

Resposta: 3h 20min.

6) EX-06 – Média Harmônico Global

Em um pesqueiro, três fontes correm para um tanque. A primeira e a segunda, correndo simultaneamente, enchem-no em 5 (5/23) h; a primeira e a terceira em 5 (5/7) h; a segunda e a terceira em 8 (4/7) h. Cada uma das fontes, correndo só, em que tempo encherá o tanque?

Solução:

Sejam x, y e z os números de horas em que cada uma das fontes, correndo só, enche o tanque.

Fazendo outra substituição:

1/x = α, 1/y = β, 1/z = δ

Somando membro a membro temos:

2α + 2β + 2δ = 23/120 + 7/40 + 7/60 = 58/120

α + β + δ = 29/120

Subtraindo dessa equação, cada uma das três do sistema, vem:

Resposta: A primeira fonte encherá o tanque em 8 horas; a segunda em 15 e a terceira , em 20.

7) EX-07 – Média Harmônico Global

Uma caixa d'água contem 3 torneiras. A 1ª despeja 8 (3/4) litros por minuto; a 2ª 9 (3/5) litros por minuto e a 3ª 12 (3/8) litros por minuto. A capacidade total da caixa d'água é de 6.145 litros. Abrindo-se as 3 torneiras, simultaneamente , em quanto tempo ficará cheia?

Solução:

Em 1 minuto as 3 torneiras abertas juntas, despejarão:

8 (3/4) + 9 (3/5) + 12 (3/8) = 8+9+12 + (3/4) + (3/5) + (3/8) = 29 + (30+24+15)/40 = 29 + 69/40 = 1229/40 litros

O tempo que gastarão para encher a caixa d'água, isto é, para despejar os 6.145 litros é igual a:

6145 : 1229/40 = 6145*40/1229 = 5*40 = 200 minutos, logo:

200/60 = 3 (1/3) horas = 3h 20 min

Resposta: 3h20min

8) EX-08 – Média Harmônico Global

A água deste pequeno tanque é fornecida por dois fontanários com débitos diferentes. Um deles enche o tanque em 10 horas o outro em 15 horas. Se os dois fontanários operarem simultaneamente, quanto tempo demora para encher o tanque.

Nota: se alguém responder = 7,5h está errado!

Solução:

Resolver o problema considerando que o tanque tem o volume V: