5. Equações, sistemas de equações e inequações

1) INTRODUÇÃO

Retomar e aprofundar os conhecimentos já vistos no ano anterior (7º ano) sobre equações, sistemas de equações e inequações, aplicando-os na resolução de problemas.

2)  Equações do 1º Grau com uma incógnita

Equação é do 1º grau com uma incógnita (x) quando pode ser escrita na forma ax=b, com a e b reais e a≠0.

Exemplo:

a)     2(x+5)=2 − 3(2+3x)+15, no conjunto dos REAIS

2(x+5)=2−3(2+3x)+15 →  2x+10= 2−6−9x+15 → 2x+9x=2-6-10+15 →

11x=1 → x=1/11   (=solução do problema)

EQUAÇÕES LITERAIS do 1º grau com incógnita x

Exemplos:

a)     2bx=8

b)     ax+3ª=bx

c)      mx+n=p

Resolvendo uma equação literal:

3x+2m=x+6m → 3x – x = 6m – 2m → 2x=4m → x=2m  (=solução)  

EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS

A massa de 68g de mercúrio ocupa certo volume (cm³) e a massa de 39g de vidro ocupa o triplo desse volume.  Calcular a densidade do mercúrio e a densidade do vidro sabendo que a diferença entre elas é de 11g/cm³.

Resumo:

a)     volume do mercúrio (cm³) = x, (x≠0)

b)     volume do vidro (cm³) = 3x

c)      densidade do mercúrio (g/cm³) = 68/x

d)     densidade do vidro (g/cm³) = 39/3x

e)     a diferença entre densidades (g/cm³)  = 68/x − 39/3x = 11 

Resolvendo a equação:

mmc (x, 3x) = 3x

68/x – 39/3x = 11 → 3*68/3x − 39/3x = 11 → 204−39 = 3x*11 → 165=33x →

33x = 165 → x=165/33 = 5 → x=5

3)  Equações do 1º Grau com duas incógnitas

De forma geral, podemos escrever:  ax + by = c, a≠0 e b≠0

As soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas são pares ordenados.

Exemplo:   x + y = 10, soluções: [(0,10), (10,0), (1,9), (4,6), etc]

Como determinar soluções de equações do 1º grau com duas incógnitas

É só determinar os pares ordenados:

Exemplo: 3x + 2y = 10

Gráfico das soluções de uma equações do 1º grau com duas incógnitas

4) Sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas

Vamos rever o que aprendemos no 7º ano. 

Soluções de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas

Exemplo: Um problema clássico de galinhas e coelhos num quintal.

Há 7 cabeças e 22 pernas. Quantas são as galinhas? E os coelhos?

(existem várias maneiras de resolver este problema)

Aqui vamos aplicar sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas:

Onde x = galinhas e y = coelhos 

A solução de um sistema de duas equações do 1º grau é um par ordenado que satisfaz as 2 equações simultaneamente.

a)     Solução da equação x+y=7: [(0,7), (7,0), (1,6), (2,5), (3,4), etc]

b)     Solução da equação 2x+4y=22: [(1,5), (3,4), (5,3), (7,2), etc] 

Logo: O par ordenado (3,4) é a solução do sistema.

Métodos de resolução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas

Método da substituição

1º passo) Isolar, no 1º membro, uma das incógnitas em uma das equações. Por exemplo, o x na 1ª equação.

x + y = 55  → x = 55 − y

2º passo) Na 2ª equação, substituir o x por (x− y) e determinamos o valor de y:

x +2y = 85 → (55−y) + 2y = 85 → 55 + y = 85 → y = 85 − 55 → y = 30

3º passo) Retornar a (x = 55 − y), substituir y por 30 e determinar o valor de x:

x = 55 − y → x = 55 – 30 = 25  → x = 25

Logo: a solução do sistema é o par ordenado (25,30)

Método da adição

Sabemos que se somarmos membro a membro as 2 igualdades, temos uma nova igualdade.

Para obter o valor de y é só substituir o x por 41 em uma das equações:

x + y = 59 →  41 + y = 59  → y = 59 − 41 → y = 18

Logo: a solução do sistema é o par ordenado (41,18)

Método da comparação

Determinar o valor de uma mesma incógnita em ambas as equações e, depois, igualar os resultados.

1º passo): Isolar o x da 1ª equação:  

3x − 5y = 1 → 3x = 1+5y → x=(1+5y) / 3  (1)

2º passo): Isolar o x da 2ª equação:  

2x + 3y = 7 → 2x = 7−3y → x=(7−3y) / 2 (2)

3º passo):  igualar os valores de x, (1)=(2), para obter o y:

                           mmc(3,2)=6

(1+5y)/3 = (7−3y)/2 →  2*(1+5y)/6 = 3*(7−3y)/6  → 2*(1+5y)=3*(7−3y) →

2+10y=21−9y → 10y+9y=21−2 → 19y=19 → y = 1

4º passo): substituir o valor de y=1 em, por exemplo, na equação (1), para obter o valor de x:

(1):  x=(1+5y) / 3  → x=(1+5*1) / 3 → x = 6/3 → x = 2

Logo: a solução do sistema é o par ordenado (2,1).

Classificação de sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, quanto ao número de soluções

a)   Determinado – se existir um par ordenado como solução, em outras palavras: se existir a intersecção das duas retas que são definidas pelas equações.

b)   Indeterminado – se existirem infinitas soluções, infinitos pares ordenados, em outras palavras: as retas são coincidentes.

c)   Impossível -  quando não a par ordenado, quando não há solução, em outras palavras: quando as retas são paralelas.

5) Inequações e Sistema de inequações do 1º grau

Revendo o estudo de inequações e sistemas de inequações que já foi estudado no 7º ano.

3 − 2x ≥ x − 12, em R

3 − 2x ≥ x − 12

− 2x − x ≥ − 12 − 3

−3x ≥ − 15    •(−1)

3x ≤ 15 

x ≤ 5

Portanto, o conjunto solução é 

Sistemas de inequações

(1)  3x − 4 ˃ 0

3x ˃ 4

x ˃ 4 ∕ 3   (S₁)   

(2)   − x + 5 ≥ 0

− x ≥ − 5

   x ≤ 5    (S₂)   

A solução do sistema (S) é dada pela intersecção de (S₁)   e  (S₂)