Teorema da Bissetriz Interna

Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

TESTE SEU CONHECIMENTO

As soluções no final desta lista de exercícios.

Ex-01

A expressão que representa “a metade do sucessor de um número natural n” é:

Resposta: b

Ex-02

O valor numérico da expressão 2.x² - 2.x – 2 para x = – 2 é: 

Resposta: c

Ex-03

O perímetro do triângulo é:

Resposta: a

Ex-04

Qual é raiz da equação:

Resposta: b

Ex-05

O que podemos afirmar sobre a equação:

(a) admite uma solução positiva

(b) admite uma solução negativa                   

(c) admite uma solução nula

(d) não admite solução

Resposta: d

Ex-06 (UF-CE)

Qual é o valor de x que é solução da seguinte equação:

 

Resposta: c

Ex-07

Uma corrida de táxi custa R$ 4,00 mais uma parcela que depende da distância percorrida, sendo cobrado R$ 1,50 por quilômetro.  Quantos quilômetros são percorridos numa corrida que custa ao todo R$22,00?

Resposta: c

Ex-08

O perímetro do quadrilátero é 43. Então, o valor de x é:

Resposta: c

Ex-09 (ESPM-SP)

Somando-se 489 à metade de um número, obtemos o dobro dele. Qual é esse número?

Resposta: c

Ex-10 (UF-RN)

Somando-se 10 a um número dado e dividindo-se o resultado por 5, obtém-se 15.  Assim sendo, o número dado está compreendido entre:

Resposta: c

Ex-11 (UF-MG)

Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento de diárias.  Ele tem duas opções de hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 30,00.  Se escolher a Pousada A, em vez de Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias.

Nesse caso, é correto afirmar que, para o pagamento de diárias, esse estudante reservou, em reais:

Resposta: d

Ex-12

Numa classe, 1/3 dos alunos presentes eram meninos.  Por terem saído 3 meninos e entrado 3 meninas, a fração de meninos caiu de 1/4.  Quantos alunos havia na classe?

Resposta: a

Ex-13 (U.E. Londrina-PR)

O número 625 pode ser escrito como uma soma de cinco números inteiros ímpares e consecutivos.  Nessas condições, uma das parcelas dessa soma é um número:

(a) menor que 120

(b) maior que 130

(c) quadrado perfeito

(d) divisível por 9

Resposta: c

Ex-14 (UF-RJ)

Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior.  Entre esses números, o maior é:

(a) múltiplo de 3

(b) ímpar

(c) quadrado perfeito

(d) divisível por 4

Resposta: a

Ex-15

Os ângulos da figura abaixo são adjacentes e suplementares.

Resposta: c

Ex-16

Os ângulos da figura abaixo são adjacentes e complementares. O suplemento do ângulo x mede: 

Resposta: c

Ex-17

Resolva as equações:

 Respostas: (a) 5;       (b) 3/4;       (c) 2/15;       (d) -6

Ex-18

Resolva a equação:

Resposta: 10 

Ex-19

Resolva a equação:

Resposta: 1,5

Ex-20

Resolva a equação:

Resposta: -2/5

Ex-21

Determine a raiz de cada equação:

Respostas:  (a) -53/3;       (b) 23/13

Ex-22

Escreva a equação e calcule quanto mede o ângulo em cada caso:

a) O suplemento da quarta parte do ângulo mede 140º

b) Os três quintos do suplemento do ângulo medem 36º

c) O suplemento do ângulo é o triplo do seu complemento

Respostas: (a) 160º;       (b) 120º;       (c) 45º

Ex-23

Considerando a figura calcule os valores de x e y e os ângulos a, b, r e s.

Respostas: x=80º; a=150º; b=30º; y=70º; s=r=120º

Ex-24

Resolva cada equação:

Respostas: (a) 0;       (b) 9/5;       (c) 4;       (d) 13/25

Soluções

Ex-01)

Seja n um número natural, então seu sucessor é n+1, logo a metade

é: 

Ex-02)

x = -2

Ex-03)

Perímetro de um triângulo é a soma de todos os lados:

Então,

P = (2x)+(3x+2)+(5x-1) = 0 → p = 10x + 1

Ex-04) 

Ex-05)

 

Ex-06)

 

Ex-07)

Taxa inicial (=bandeirada) = R$ 4,00;

Seja x = quilômetros percorridos;

Preço da quilometragem = R$ 1,50;

Total = R$ 22,00

Total = taxa inicial + x_*quilometragem

22 = 4 + x_*1,50 → x_*1,50 = 18  →  x = 12 

Ex-08)

p = 43

p = x + 2x + (x+2) + (x+1) = 5x + 3

Logo,

43 = 5x + 3 → 5x = 40 → x = 8

Ex-09)

Seja x o número procurado, então:

x/2 + 489 = 2x → 2.x/2 + 2.489 = 2.2x → x + 978 = 4x →

→ 3x = 978 → x = 326

Ex-10)

Seja x o número dado (=procurado), então:

(x + 10)/5 = 15  → (x + 10) = 75  →  x = 65

Ex-11)

Pousada A → diária = R$ 25,00

Pousada B → diária = R$ 30,00

Capital reservado → x

Dias se hospedagem em B = y

Dias se hospedagem em A = y +3

Então,

Escolha A → x = (y+3).25

Escolha B → x = y.30

Logo,

25.(y+3) = 30.y  →  25y +75 = 30y  →  5y = 75  → y = 15

Dias de hospedagem em A: y+3 = 15 + 3 = 18 dias

x = 30y  →  x = 30.15  →  x = 450  →  x = R$ 450,00

Ex-12)

Número de meninos = x → 1/3

Número de meninas = y → 1 – 1/3 = 2/3 = 2 (1/3)

O número de meninas é o dobro de meninos: y = 2x (I)

Após a saída de meninos e entrada de meninas, temos:

Meninos = x – 3 → 1/4 (de acordo com enunciado)

Meninas = y + 3 → 1 – 1/4 = 3/4 = 3.(1/4)

Portanto, o número de meninas é o triplo dos meninos. 

(y+3) = 3.(x-3)  → y + 3 = 3x – 9 → y = 3x – 12 (II)

(I) em (II) → 2x = 3x – 12 →  x = 12 → (números de meninos)

Em (I) → y = 2x → y = 2.12 = 24  →  y = 24 → (números de meninas)

Portanto, total de alunos na classe = x + y = 12 + 24 = 36

 Ex-13)

Sejam 5 números ímpares e consecutivos:

(2n+1), (2n+3), (2n+5), (2n+7), (2n+9)

De acordo com enunciado:

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) = 625 →

→ 5.2n + 25 = 625  →  10n + 25 = 625  → 10n = 600 → n = 60

(2n+1) = 2_*60+1 = 121   →  11² = 121 (quadrado perfeito)

(2n+3) = 2_*60+3 = 123

(2n+5) = 2_*60+5 = 125

(2n+7) = 2_*60+7 = 127

(2n+9) = 2_*60+9 = 129

Ex-14)

Sejam 3 números múltiplos de 5 e consecutivos:

5n, 5(n+1), 5(n+2)

De acordo com enunciado:

3_*5n = 2_*5(n+2)

3_*5n = 2_*5(n+2)  →  15n = 10n + 20 → 5n = 20 → n = 4

Então,

5n = 5*4 = 20

5(n+1) = 5(4+1) = 25

5(n+2) = 5(4+2) = 30  → (=maior) é múltiplo de 3

Ex-15)

Ângulos suplementares: são ângulos que somados, dão 180 graus.

(3x+20)+(x) = 180 → 4x = 160 → x = 40

Ex-16)

Ângulos suplementares: são ângulos que somados, dão 180 graus.
Ângulos complementares: são ângulos que somados, dão 90 graus.

(x/2 – 18) + (x) = 90 → x – 36 + 2x = 180  → 3x = 216  → x = 72

O ângulo suplementar y de x=72 é:

y = 180 – 72 = 108 → y = 108º

 Ex-17)

Ex-18)

5_*(x+x/5) = 5_*12  → 5x + x = 60 → 6x = 60 → x=10

Ex-19)

 

3_*(x/3+2)=3_*(x+1) → x+6=3x+3 → 2x=3 → x=3/2

Ex-20)

 

6_*1/2(x-2)+6_*1/3(x+4)=0 ↔ 3(x-2)+2(x+4)=0 ↔ 5x+2=0 ↔

↔ x = -2/5

Ex-21)

 

28_*(x-1)/7 – 28_*(x+3)/4 = 28 ↔ 4(x-1)-7(x+3)=28 ↔

4x – 4 – 7x – 21 = 28 ↔ –3x = 53 ↔ x = – 53/3

30*(x-1)/2 + 30*(x+1)/3 = 30*(2x+3)/5 ↔

↔ 15(x-1)+10(x+1)=6(2x+3) ↔ 15x – 15 + 10x +10 = 12x +18 ↔

↔ 25x – 12x = 18 +15 – 10  ↔ 13x = 23  ↔ x = 23/13

Ex-22)

a) Seja x o ângulo procurado; o suplemento (isto é, quanto falta para 180º) da quarta parte deste (=x) é igual a 140º.  Então,

180 – x/4 = 140 →  – x/4 = 140 – 180  → x = 160º

b) Seja y o ângulo procurado; o suplemento deste ângulo é: (180 – x). Então,

3/5_*(180 – y) = 36  →  5_*3/5(180 – y) = 5_*36 → 3_*(180 – y) = 5_*12_*3  →

180 – y = 60  → y = 120º

c) Seja z o ângulo procurado; suplemento é igual à (180 – z) e complemento é igual à (90 – z).  Então,

(180 – z) = 3*(90 – z) → 180 – z = 270 – 3z → 2z =  90 → z = 45º

Ex-23)

Da figura temos,

a = (x/2 – 10)  (I)

b = (7x/4 + 10)  (II)

(x/2 – 10) + (7x/4 + 10) = 180   (III) 

s = r = 180 – (y – 10)  (IV)

(y – 10) = y/7 + 50  (V)

(III) → (x/2 – 10) + (7x/4 + 10) = 180  

→ 4_*(x/2 – 10) + 4_*(7x/4 + 10) = 4_*180 →

→ 2x -40 +7x +40 = 4_*180 → 9x = 4_*20_*9 → x = 80º

(I) → a = (x/2 – 10)  → a = 80/2 – 10 = 40 – 10 = 30 → a = 30º

(II) → b = (7x/4 + 10)  → 7.80/4 + 10 = 150 → b = 150º

(V) → (y – 10) = y/7 + 50  → 7_*(y – 10) = 7_*(y/7 + 50) →

→ 7y – 70 = y +7_*50 → 6y = 7_*50 + 70 → 6y = 5_*70 + 70 →

→ 6y = 6_*70  → y = 70º

(IV) → s = r = 180 – (y – 10)  → s = r = 180 – (70 – 10) = 120 →

→ s = r = 120º

Ex-24)

(1–x)/2–(x+1)/2 = x  → (1-x-x-1)/2 = x → -2x/2 = x → -x = x →

→ 2x=0 → x = 0

O mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores = 90

90*(m/6+m/9) = 90*(1/15+(m-1/2)/3) →

→ 15m+10m = 6 + 30(m-1/2) → 25m = 6 +30m – 15 →

→ 5m = 9 → m = 9/5

O mmc dos denominadores = 390

390_*(3y+1)/13-390_*(2-y)/2 = 390_*(4y-1)/5- 390_*(2y-5)/3 →

→ 30_*(3y+1) – 195_*(2-y) = 78_*(4y-1) – 130_*(2y-5) →

→ 90y+30–390+195y = 312y–78–260y+650 → 233y = 932 →

→ y = 4

O mmc dos denominadores = 36

36_*(9x+7)/4 + 36_*(1-7x)=36_*(2+x)/9 →

→ 9_*(9x+7) +36 – 252x = 4_*(2+x) → 81x+63+36-252x = 8+4x →

→ -175x = - 91  → 7_*25x = 7_*13 → x = 13/25